Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов Читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и миаюпржнимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам В брошюре излагаются решения перечисленныхбмжяг выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, а также школьных учителей, руководителей математических кружков При чтении последних разделов будет полезным (но не обязательным) знакомство с началами математического анализа.